- 等差数列与等比数列的综合
- 共59题
数列为等差数列,为等比数列,,则
正确答案
解析
略
知识点
对于数列,把作为新数列的第一项,把或作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列,例如,数列的一个生成数列是。
已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和。
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;
(3)证明:对于给定的,的所有可能值组成的集合为。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知,,,
∴,
由于,
∴可能值为。…………………………3分
(2)∵,
当时,,
当时,,
,,…………………………5分
∵是的生成数列,
∴;;;
∴
在以上各种组合中,
当且仅当时,才成立。
∴。…………………………8分
(3)共有种情形。
,即,
又,分子必是奇数,
满足条件的奇数共有个。…………………………10分
设数列与数列为两个生成数列,数列的前项和为,数列的前项和为,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第项。
由于,不妨设,
,
所以,只有当数列与数列的前项完全相同时,才有。……12分
∴共有种情形,其值各不相同。
∴可能值必恰为,共个。
即所有可能值集合为。…………………………13分
知识点
设等差数列{an}的公差d≠0,数列{bn}为等比数列,若a1=b1=a,a3=b3,a7=b5
(1)求数列{bn}的公比q;
(2)将数列{an},{bn}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn},是否存在正整数λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)使得λ,μ,ω和cλ+λ,cμ+μ,cω+ω均成等差数列?若存在,求出λ,μ,ω的值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)设{bn}的公比为q,由题意,即
q=1不合题意,故=,解得q2=2,
∴q=±
(2)若{an}与{bn}有公共项,不妨设an=bm,
由(2)知:m为奇数,且n=,
令m=2k﹣1(k∈N*),则bm=a•=a•2k﹣1,
∴cn=2n﹣1a
若存在正整数λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)满足题意,
设p=λ,q=μ,r=ω则,
∴2q=2p﹣1+2r﹣1,又2p﹣1+2r﹣1≥2=(当且仅当p=r时取“=”)
又p≠r,
∴又2p﹣1+2r﹣1>
又y=2x在R上增,
∴q>,与题设q=矛盾,
∴不存在λ,μ,ω满足题意。
知识点
数列{an}的前n项和为Sn=2n+1﹣2,数列{bn}是首项为a1,公差为d(d≠0)的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列。
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设,求数列{cn}的前n项和Tn。
正确答案
见解析。
解析
(1)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2n=2n,
又,也满足上式,
所以数列{an}的通项公式为。
b1=a1=2,设公差为d,由b1,b3,b11成等比数列,
得(2+2d)2=2×(2+10d),化为d2﹣3d=0。
解得d=0(舍去)d=3,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3n﹣1。
(2)由(1)可得Tn=,
∴2Tn=,
两式相减得Tn=,
==。
知识点
某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床,型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年),若第1年型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年型车床创造的价值是上一年价值的50%,现用()表示型车床在第年创造的价值。
(1)求数列()的通项公式;
(2)记为数列的前项和,,企业经过成本核算,若万元,则继续使用型车床,否则更换型车床,试问该企业须在第几年年初更换型车床? (已知:若正数数列是单调递减数列,则数列也是单调递减数列)。
正确答案
见解析
解析
(1)由题设,知,,…,构成首项,公差的等差数列。
故(,)(万元)。 (3分)
,,…,(,)构成首项,公比的等比数列。
故(,)(万元), (6分)
于是,()(万元), (7分)
(2)由(1)知,是单调递减数列,于是,数列也是单调递减数列。
当时,,单调递减,(万元)。
所以(万元)。
当时,, (9分)
当时,(万元);当时,(万元), (13分)
所以,当,时,恒有。
故该企业需要在第11年年初更换型车床, (14分)
知识点
已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前n项和
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设知公差d≠0
由且成等比数列得
解得d=1,d=0(舍去)
故的通项
(2)由(1)知,由等比数列前n项和公式得
知识点
设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列。
(1)求数列的公比;
(2)证明:对任意,成等差数列。
正确答案
见解析
解析
(1)设数列的公比为()。
由成等差数列,得,即。
由得,解得,(舍去),所以。
(2)证法一:对任意,(lby lfx)
,
所以,对任意,成等差数列。
证法二:对任意,,
,
,
因此,对任意,成等差数列。
知识点
已知数列的前n项和为Sn,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等差数列,试判断
是否成等比数列?并说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1) 解:,
∴ 当时,有 解得 .
由, ①
得, ②
② - ①得: . ③
以下提供两种方法:
法1:由③式得:,
即;
,
∵,
∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴,即.
当时, ,
又也满足上式,
∴.
法2:由③式得:,
得. ④
当时,, ⑤
⑤-④得:.
由,得,
∴.
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列. ∴.
(2)解:∵成等差数列,
∴.
假设成等比数列,
则,
即,
化简得:. (*)
∵,
∴,这与(*)式矛盾,故假设不成立。
∴不是等比数列.
知识点
在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列。
(1)求;
(2)若,求
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由已知得到:
;
(2)由(1)知,当时,,
①当时,
②当时,
所以,综上所述:
知识点
用部分自然数构造如图的数表:用
每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和。设第行中的各数之和为.
(1)写出的递推关系(不要求证明);
(2)令是等比数列,并求出的通项公式;
(3)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,说明理由.
正确答案
见解析
解析
知识点
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