- 与二面角有关的立体几何综合题
- 共6题
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题型:填空题
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15.已知边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体,则四面体的外接球的表面积为________.
正确答案
知识点
与二面角有关的立体几何综合题
1
题型:简答题
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19.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接
(1)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(2)若面与面所成二面角的大小为,求的值.
正确答案
(1)因为底面,所以,
由底面为长方形,有,而,
所以. 而,所以.
又因为,点是的中点,所以.
而,所以平面. 而,所以.
又,,所以平面.
由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.
(2)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面
的交线. 由(1)知,,所以.
又因为底面,所以. 而,所以.
故是面与面所成二面角的平面角,
设,,有,
在Rt△PDB中, 由, 得,
则 , 解得.
所以
故当面与面所成二面角的大小为时,.
(解法2)
(1)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设,,则,,点是的中点,所以,,
于是,即.
又已知,而,所以.
因, , 则, 所以.
由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.
(2)由,所以是平面的一个法向量;
由(1)知,,所以是平面的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为,
则,
解得. 所以
故当面与面所成二面角的大小为时,.
解析
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知识点
直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法与二面角有关的立体几何综合题
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