- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共43题
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ) 设直线,的斜率分别为,求证为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1).椭圆 的方程为. ………3分
(2)(ⅰ)设点的坐标为,
∴ ………5分
∵点在椭圆上,∴,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为,
则 且 ………9分
∵
∴ 直线的方程为 ………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即时等号成立,
∴时,线段的长度取得最小值为. …………14分
知识点
如图,已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,点A是椭圆上任一点,△AF1F2的周长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记,若在线段MN上取一点R,使得,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵△AF1F2的周长为,
∴即. ……………………(1分)
又解得………………(3分)
∴椭圆C的方程为………………………………(4分)
(2)由题意知,直线l的斜率必存在,
设其方程为
由
得…………………………………(6分)
则……………………………………(7分)
由,得
∴∴.……………………………………(8分)
设点R的坐标为(),由,
得
∴
解得………………(10分)
而
∴…………………………………………………(13分)
故点R在定直线上. ………………………………………………(14分)
知识点
已知椭圆过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,直线,分别交直线 于,两点,线段的中点为.记直线的斜率为,求证: 为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)依题得解得,.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
(2)根据已知可设直线的方程为.
由得.
设,则.
直线,的方程分别为:,
令,
则,所以.
所以
. ……………………………………………………14分
知识点
已知椭圆和点,垂直于轴的直线与椭圆交于两点,连结交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的焦点坐标和离心率;
(2)证明直线与轴相交于定点.
正确答案
见解析
解析
(1)由题意知: 所以
所以,焦点坐标为; 离心率…………………4分
(2)由题意知:直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为……………………5分
, ,则,
由 得
则 (1) ……………………8分
直线AE的方程为,令,得 (2) ……10分
又 , 代入(2)式,得 (3)
把(1)代入(3)式,整理得,所以直线AE与轴相交于定点. …………………14分
知识点
已知椭圆:的右焦点为,且点在椭圆上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,动直线过点,且直线与椭圆交于,两点,证明:为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)解:由题意知:.
根据椭圆的定义得:,即.………………3分
所以 .
所以 椭圆的标准方程为.………………4分
(2)证明:当直线的斜率为0时,.
则 . ……………6分
当直线的斜率不为0时,设直线的方程为:,.
由可得:.
显然.
……………9分
因为 ,,
所以
.
即 .………………13分
知识点
抛物线的顶点在原点焦点在轴上,且经过点,圆过定点,且圆心在抛物线上,记圆与轴的两个交点为。
(1)求抛物线的方程;
(2)当圆心在抛物线上运动时,试问是否为一定值?请证明你的结论;
(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
知识点
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点。
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线与的斜率之积为,证明:存在定点,使得为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,垂直于轴于点,连接 并延长交椭圆于点,记直线的斜率分别为,证明:。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为,
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故
故椭圆的标准方程为:
(2)设,
由可得:
由直线OM与ON的斜率之积为可得:
,即
由①②可得:
M、N是椭圆上的点,故
故,即
由椭圆定义可知存在两个定点,
使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)设,由题设可知
,
由题设可知斜率存在且满足.③
将③代入④可得:
⑤
点在椭圆,
故
知识点
已知圆:,若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线:,若直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点(其中点在线段上),且,求的值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)设椭圆的焦距为,因为,,所以………………2分
所以 所以椭圆:………………4分
(2)设(,),(,)
由直线与椭圆交于两点,,则
所以, 则,………………6分
所以………………8分
点()到直线的距离………………10分
则………………11分
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,
因为,所以………………12分
所以
解得,即………………14分
知识点
设为抛物线上的两个动点,过分别作抛物线的切线,与分别交于两点,且,
(1)若,求点的轨迹方程
(2)当所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:的面积为一个定值,并求出这个定值
正确答案
见解析。
解析
(1)设 ,,
即 ......①
同理, ......②
令 可求出 ,
所以
由①,②,得
,
∴
(2)当所在直线过的焦点时
(3)设 又由 得
所以
∴P到MN的距离为
∴
∴为定值
知识点
已知椭圆的离心率为,过右焦点做垂直于轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点,直线:,过任作一条不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,若为的中点,为在直线上的射影,的中垂线与轴交于点.求证:为定值.
正确答案
见解析。
解析
(1)解:由题意可得
,解得 -----------------2分
∴椭圆的标准方程为. -----------------4分
(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程
,整理得 -----------------6分
∵直线与椭圆有两个公共点,∴
∴或. -----------------7分
由
得
-----------------9分
设则
∴直线的方程,令,得
-----------------11分
∴ -----------------12分
∴=. -----------------13分
知识点
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