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题型:简答题
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简答题 · 10 分

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

选修4-1:几何证明选讲(请回答28、29题)

如图,在正方形中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作

,垂足为

选修4—4:坐标系与参数方程(请回答30、31题)

在直角坐标系中,圆的方程为

选修4—5:不等式选讲(请回答32、33题)

已知函数为不等式的解集.

28.证明:四点共圆;

29.若的中点,求四边形的面积.

30.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;

31.直线的参数方程是为参数), 交于两点,,求的斜率.

32.求

33.证明:当时,

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)详见解析;

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

(Ⅰ)证明:∵

BCGF四点共圆.

考查方向

本题考查了三角形相似、全等,四点共圆等知识点。

解题思路

(1)利用三角形相似即可证明四点共圆;

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于圆的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关圆的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)由四点共圆,,连结

斜边的中点,知,故

因此四边形的面积面积的2倍,即

考查方向

本题考查了三角形相似、全等,四点共圆等知识点。

解题思路

(2)由四点共圆可得,再证明,根据四边形的面积面积的2倍求得结论.

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

试题解析:(I)由可得的极坐标方程

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

(1)直接利用互化公式即可求出极坐标方程;

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

试题分析:本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题,属于简单题,只要掌握相关的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为

所对应的极径分别为的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

所以的斜率为.

考查方向

本题考查了圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式等知识点。

解题思路

(2)先求出直线l的极坐标方程,将其带入C的极坐标方程得到关于的一元二次方程,再根据维达定理、弦长公式求出,进而求出直线的斜率.

易错点

不能熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用导致本题出错。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

(I)

时,由解得

时,

时,由解得.

所以的解集.

考查方向

本题考查了绝对值不等式,不等式的证明等知识点。

解题思路

(1)根据零点分段讨论法直接求解;

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)详见解析.

解析

试题分析:本题属于不等式的选讲内容,不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等,解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式,属于简单题,只要掌握相关不等式的知识,即可解决本题,解析如下:

(II)由(I)知,当时,

从而

因此

考查方向

本题考查了绝对值不等式,不等式的证明等知识点。

解题思路

(2)采用平方作差法,再临行因式分解,进而可证当

易错点

第二问不知如何运用已知条件导致此问无思路。

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题型:简答题
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简答题 · 15 分

已知函数.

24.若,且关于的不等式上有解,求的最小值;

25.若函数在区间上不单调,的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题,属于拔高题,不易得分,解析如下:当时,

结合图象可知,

函数在上单调递减,在上单调递增,

,由已知得,有解,只要, 所以

的最小值为.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

先求出函数的最值,再利用恒成立求实数的最小值;

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析:本题属于分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性的综合应用问题,属于拔高题,不易得分,解析如下:

(1)若,则上单调递增,不满足条件;

(2)若,则,所以,

上递减,在上递增,

上不单调等价于:解得

(3)若,则

结合图象,有以下三种情况:

,即时,函数上单调递增,在上单调递减,上不单调等价于解得

,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,由于恒成立,

所以在区间上不单调成立,即符合题意;

③当时,上递减,在上递增,因此在上不单调,符合题意. 综上所述,.

考查方向

本题考查了分段函数的性质、函数的最值、函数的单调性等知识点。

解题思路

根据题中条件就参数a的范围进行分类讨论,结合函数在区间上不单调,即可求除的取值范围.

易错点

第二问中忽略对实数a范围的讨论导致出错。

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题型:简答题
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简答题 · 20 分

21.(选做题,以下A.B.C.D四㼵中选择两题做答)

A.(选修4-1:几何证明选讲)

  如图,的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于P,E为上一点,AE=AC,DE交AB于点F。

     求证:

B.(选修4-2:矩阵与变换)

  已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下,点变成了点,点变成了点,求矩阵M的逆矩阵

C.选修4-4:坐标系与参数方程)

  已知曲线,直线

  (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;

  (2)设点P在曲线C上,求P点到直线距离的最小值。

D.(选修4-5:不等式选讲)

  设函数,若不等式对任意恒成立,求实数x的范围。


正确答案

A

B

C

D

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

不等式的基本性质
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题型:简答题
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简答题 · 20 分

21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.(几何证明选讲选做题)

如图,已知AB为园O的直径,BC切园O于点B,AC交园O于点P,E为线段BC的中点,求证OP⊥PE。

B.(矩阵与变换选做题)

已知,,设曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程。

C.(坐标系与参数方程选做题)

在平面直角坐标系中,直线m的参数方程为(t为参数);在以O为极点、射线为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.若直线m与曲线C交于A、B两点,求线段AB的长。

D.(不等式选做题)

设x,y均为正数,且x>y,求证:

正确答案

A.

B.

C.

D.

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

不等式的基本性质
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质

(1)设函数,其中为实数。

(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。

(2)已知函数具有性质。给定为实数,

,且

若||<||,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)(i)

时,恒成立,

∴函数具有性质

(ii)(方法一)设的符号相同。

时,,故此时在区间上递增;

时,对于,有,所以此时在区间上递增;

时,图像开口向上,对称轴,而

对于,总有,故此时在区间上递增;

(方法二)当时,对于

所以,故此时在区间上递增;

时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而

时,,故此时在区间     上递减;同理得:在区间上递增。

综上所述,当时,在区间上递增;

时,上递减;上递增。

(2)(方法一)由题意,得:

对任意的都有>0,

所以对任意的都有上递增。

时,,且

         

综合以上讨论,得:所求的取值范围是(0,1)。

(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。

①当时,有

,得,同理可得,所以由的单调性知

从而有||<||,符合题设。

②当时,

,于是由的单调性知,所以||≥||,与题设不符。

③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)。

知识点

函数单调性的性质导数的运算不等式的基本性质
下一知识点 : 绝对值三角不等式
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